Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107580 / 42305
↖ ↑ ↗
← N 53.643010°
E115.477295°		 ← 181.02 m → N 53.643010°
E115.480041°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.641381°
E115.477295°		 ← 181.03 m →
32 777 m²		 N 53.641381°
E115.480041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820774078369141 y=0.322765350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820774078369141 × 217)
    floor (0.820774078369141 × 131072)
    floor (107580.5)     		tx = 107580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322765350341797 × 217)
    floor (0.322765350341797 × 131072)
    floor (42305.5)     		ty = 42305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107580 / 42305 ti = "17/107580/42305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107580/42305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107580 ÷ 217
    107580 ÷ 131072     		x = 0.820770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42305 ÷ 217
    42305 ÷ 131072     		y = 0.322761535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820770263671875 × 2 - 1) × π
    0.64154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01545901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322761535644531 × 2 - 1) × π
    0.354476928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.11362211507352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01545901} λ = 2.01545901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11362211507352))-π/2
    2×atan(3.04536911873173)-π/2
    2×1.25352173285908-π/2
    2.50704346571816-1.57079632675     		φ = 0.93624714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01545901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93624714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.643010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107580 KachelY 42305 2.01545901 0.93624714 115.477295 53.643010
    Oben rechts KachelX + 1 107581 KachelY 42305 2.01550694 0.93624714 115.480041 53.643010
    Unten links KachelX 107580 KachelY + 1 42306 2.01545901 0.93621872 115.477295 53.641381
    Unten rechts KachelX + 1 107581 KachelY + 1 42306 2.01550694 0.93621872 115.480041 53.641381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93624714-0.93621872) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93624714-0.93621872) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01545901-2.01550694) × cos(0.93624714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592814517139794 × 6371000     		do = 181.023044367388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01545901-2.01550694) × cos(0.93621872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592837404635529 × 6371000     		du = 181.030033339547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93624714)-sin(0.93621872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592814517139794-0.592837404635529)×R²
    abs(2.01550694-2.01545901)×2.2887495734758e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2887495734758e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2887495734758e-05×40589641000000     		ar = 32777.3566483346m²