Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10758 / 5638
↖ ↑ ↗
← N 81.513409°
W120.904541°		 ← 90.14 m → N 81.513409°
W120.899048°		 →
↑
90.15 m
↓
↑
90.15 m
↓
N 81.512599°
W120.904541°		 ← 90.15 m →
8 126 m²		 N 81.512599°
W120.899048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164161682128906 y=0.0860366821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164161682128906 × 216)
    floor (0.164161682128906 × 65536)
    floor (10758.5)     		tx = 10758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860366821289062 × 216)
    floor (0.0860366821289062 × 65536)
    floor (5638.5)     		ty = 5638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10758 / 5638 ti = "16/10758/5638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10758/5638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10758 ÷ 216
    10758 ÷ 65536     		x = 0.164154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5638 ÷ 216
    5638 ÷ 65536     		y = 0.086029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.67169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11018232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086029052734375 × 2 - 1) × π
    0.82794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60105617338425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11018232} λ = -2.11018232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60105617338425))-π/2
    2×atan(13.477965588826)-π/2
    2×1.49673685128124-π/2
    2.99347370256248-1.57079632675     		φ = 1.42267738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11018232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.904541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42267738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.513409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10758 KachelY 5638 -2.11018232 1.42267738 -120.904541 81.513409
    Oben rechts KachelX + 1 10759 KachelY 5638 -2.11008645 1.42267738 -120.899048 81.513409
    Unten links KachelX 10758 KachelY + 1 5639 -2.11018232 1.42266323 -120.904541 81.512599
    Unten rechts KachelX + 1 10759 KachelY + 1 5639 -2.11008645 1.42266323 -120.899048 81.512599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42267738-1.42266323) × R
    1.41500000001571e-05 × 6371000     		dl = 90.1496500010008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42267738-1.42266323) × R
    1.41500000001571e-05 × 6371000     		dr = 90.1496500010008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11018232--2.11008645) × cos(1.42267738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147577938182221 × 6371000     		do = 90.1387997635147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11018232--2.11008645) × cos(1.42266323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147591933231025 × 6371000     		du = 90.1473477681644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42267738)-sin(1.42266323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147577938182221-0.147591933231025)×R²
    abs(-2.11008645--2.11018232)×1.39950488033946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39950488033946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39950488033946e-05×40589641000000     		ar = 8126.36655028451m²