Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107576 / 42323
↖ ↑ ↗
← N 53.613691°
E115.466309°		 ← 181.19 m → N 53.613691°
E115.469055°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
N 53.612062°
E115.466309°		 ← 181.19 m →
32 830 m²		 N 53.612062°
E115.469055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820743560791016 y=0.322902679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820743560791016 × 217)
    floor (0.820743560791016 × 131072)
    floor (107576.5)     		tx = 107576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322902679443359 × 217)
    floor (0.322902679443359 × 131072)
    floor (42323.5)     		ty = 42323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107576 / 42323 ti = "17/107576/42323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107576/42323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107576 ÷ 217
    107576 ÷ 131072     		x = 0.82073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42323 ÷ 217
    42323 ÷ 131072     		y = 0.322898864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82073974609375 × 2 - 1) × π
    0.6414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01526726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322898864746094 × 2 - 1) × π
    0.354202270507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.11275925088036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01526726} λ = 2.01526726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11275925088036))-π/2
    2×atan(3.04274251212958)-π/2
    2×1.25326588477596-π/2
    2.50653176955192-1.57079632675     		φ = 0.93573544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01526726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.466309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93573544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.613691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107576 KachelY 42323 2.01526726 0.93573544 115.466309 53.613691
    Oben rechts KachelX + 1 107577 KachelY 42323 2.01531520 0.93573544 115.469055 53.613691
    Unten links KachelX 107576 KachelY + 1 42324 2.01526726 0.93570700 115.466309 53.612062
    Unten rechts KachelX + 1 107577 KachelY + 1 42324 2.01531520 0.93570700 115.469055 53.612062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93573544-0.93570700) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93573544-0.93570700) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01526726-2.01531520) × cos(0.93573544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593226531491528 × 6371000     		do = 181.186652368315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01526726-2.01531520) × cos(0.93570700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593249426463462 × 6371000     		du = 181.19364508206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93573544)-sin(0.93570700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593226531491528-0.593249426463462)×R²
    abs(2.01531520-2.01526726)×2.28949719331961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28949719331961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28949719331961e-05×40589641000000     		ar = 32830.0677255086m²