Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107573 / 42771
↖ ↑ ↗
← N 52.877419°
E115.458069°		 ← 184.33 m → N 52.877419°
E115.460816°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.875761°
E115.458069°		 ← 184.34 m →
33 987 m²		 N 52.875761°
E115.460816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820720672607422 y=0.326320648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820720672607422 × 217)
    floor (0.820720672607422 × 131072)
    floor (107573.5)     		tx = 107573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326320648193359 × 217)
    floor (0.326320648193359 × 131072)
    floor (42771.5)     		ty = 42771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107573 / 42771 ti = "17/107573/42771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107573/42771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107573 ÷ 217
    107573 ÷ 131072     		x = 0.820716857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42771 ÷ 217
    42771 ÷ 131072     		y = 0.326316833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820716857910156 × 2 - 1) × π
    0.641433715820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01512345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326316833496094 × 2 - 1) × π
    0.347366333007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09128351985058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01512345} λ = 2.01512345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09128351985058))-π/2
    2×atan(2.97809406336885)-π/2
    2×1.24684069097346-π/2
    2.49368138194691-1.57079632675     		φ = 0.92288506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01512345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.458069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92288506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.877419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107573 KachelY 42771 2.01512345 0.92288506 115.458069 52.877419
    Oben rechts KachelX + 1 107574 KachelY 42771 2.01517139 0.92288506 115.460816 52.877419
    Unten links KachelX 107573 KachelY + 1 42772 2.01512345 0.92285612 115.458069 52.875761
    Unten rechts KachelX + 1 107574 KachelY + 1 42772 2.01517139 0.92285612 115.460816 52.875761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92288506-0.92285612) × R
    2.89400000000883e-05 × 6371000     		dl = 184.376740000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92288506-0.92285612) × R
    2.89400000000883e-05 × 6371000     		dr = 184.376740000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01512345-2.01517139) × cos(0.92288506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603522280125966 × 6371000     		do = 184.33123901384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01512345-2.01517139) × cos(0.92285612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603545355070349 × 6371000     		du = 184.338286695803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92288506)-sin(0.92285612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603522280125966-0.603545355070349)×R²
    abs(2.01517139-2.01512345)×2.30749443824729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30749443824729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30749443824729e-05×40589641000000     		ar = 33987.0426461723m²