Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107573 / 41879
↖ ↑ ↗
← N 54.330940°
E115.458069°		 ← 178.09 m → N 54.330940°
E115.460816°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
N 54.329338°
E115.458069°		 ← 178.10 m →
31 714 m²		 N 54.329338°
E115.460816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820720672607422 y=0.319515228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820720672607422 × 217)
    floor (0.820720672607422 × 131072)
    floor (107573.5)     		tx = 107573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319515228271484 × 217)
    floor (0.319515228271484 × 131072)
    floor (41879.5)     		ty = 41879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107573 / 41879 ti = "17/107573/41879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107573/41879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107573 ÷ 217
    107573 ÷ 131072     		x = 0.820716857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41879 ÷ 217
    41879 ÷ 131072     		y = 0.319511413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820716857910156 × 2 - 1) × π
    0.641433715820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01512345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319511413574219 × 2 - 1) × π
    0.360977172851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.13404323431167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01512345} λ = 2.01512345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13404323431167))-π/2
    2×atan(3.10819830233984)-π/2
    2×1.25952505441112-π/2
    2.51905010882225-1.57079632675     		φ = 0.94825378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01512345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.458069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94825378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.330940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107573 KachelY 41879 2.01512345 0.94825378 115.458069 54.330940
    Oben rechts KachelX + 1 107574 KachelY 41879 2.01517139 0.94825378 115.460816 54.330940
    Unten links KachelX 107573 KachelY + 1 41880 2.01512345 0.94822583 115.458069 54.329338
    Unten rechts KachelX + 1 107574 KachelY + 1 41880 2.01517139 0.94822583 115.460816 54.329338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94825378-0.94822583) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94825378-0.94822583) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01512345-2.01517139) × cos(0.94825378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583102604306461 × 6371000     		do = 178.094544416111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01512345-2.01517139) × cos(0.94822583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583125310617289 × 6371000     		du = 178.101479507899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94825378)-sin(0.94822583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583102604306461-0.583125310617289)×R²
    abs(2.01517139-2.01512345)×2.27063108283465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27063108283465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27063108283465e-05×40589641000000     		ar = 31713.8150383114m²