Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107571 / 41878
↖ ↑ ↗
← N 54.332541°
E115.452576°		 ← 178.05 m → N 54.332541°
E115.455322°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
N 54.330940°
E115.452576°		 ← 178.06 m →
31 706 m²		 N 54.330940°
E115.455322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820705413818359 y=0.319507598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820705413818359 × 217)
    floor (0.820705413818359 × 131072)
    floor (107571.5)     		tx = 107571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319507598876953 × 217)
    floor (0.319507598876953 × 131072)
    floor (41878.5)     		ty = 41878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107571 / 41878 ti = "17/107571/41878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107571/41878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107571 ÷ 217
    107571 ÷ 131072     		x = 0.820701599121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41878 ÷ 217
    41878 ÷ 131072     		y = 0.319503784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820701599121094 × 2 - 1) × π
    0.641403198242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01502758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319503784179688 × 2 - 1) × π
    0.360992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13409117121129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01502758} λ = 2.01502758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13409117121129))-π/2
    2×atan(3.10834730330115)-π/2
    2×1.25953903020445-π/2
    2.5190780604089-1.57079632675     		φ = 0.94828173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01502758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.452576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94828173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.332541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107571 KachelY 41878 2.01502758 0.94828173 115.452576 54.332541
    Oben rechts KachelX + 1 107572 KachelY 41878 2.01507551 0.94828173 115.455322 54.332541
    Unten links KachelX 107571 KachelY + 1 41879 2.01502758 0.94825378 115.452576 54.330940
    Unten rechts KachelX + 1 107572 KachelY + 1 41879 2.01507551 0.94825378 115.455322 54.330940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94828173-0.94825378) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94828173-0.94825378) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01502758-2.01507551) × cos(0.94828173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583079897540111 × 6371000     		do = 178.050461165149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01502758-2.01507551) × cos(0.94825378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583102604306461 × 6371000     		du = 178.057394949417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94828173)-sin(0.94825378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583079897540111-0.583102604306461)×R²
    abs(2.01507551-2.01502758)×2.27067663495228e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27067663495228e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27067663495228e-05×40589641000000     		ar = 31705.9650415942m²