Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107568 / 41880
↖ ↑ ↗
← N 54.329338°
E115.444336°		 ← 178.10 m → N 54.329338°
E115.447082°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
N 54.327737°
E115.444336°		 ← 178.11 m →
31 715 m²		 N 54.327737°
E115.447082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820682525634766 y=0.319522857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820682525634766 × 217)
    floor (0.820682525634766 × 131072)
    floor (107568.5)     		tx = 107568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319522857666016 × 217)
    floor (0.319522857666016 × 131072)
    floor (41880.5)     		ty = 41880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107568 / 41880 ti = "17/107568/41880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107568/41880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107568 ÷ 217
    107568 ÷ 131072     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41880 ÷ 217
    41880 ÷ 131072     		y = 0.31951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31951904296875 × 2 - 1) × π
    0.3609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13399529741205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13399529741205))-π/2
    2×atan(3.108049308521)-π/2
    2×1.25951107807352-π/2
    2.51902215614703-1.57079632675     		φ = 0.94822583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94822583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.329338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107568 KachelY 41880 2.01488376 0.94822583 115.444336 54.329338
    Oben rechts KachelX + 1 107569 KachelY 41880 2.01493170 0.94822583 115.447082 54.329338
    Unten links KachelX 107568 KachelY + 1 41881 2.01488376 0.94819788 115.444336 54.327737
    Unten rechts KachelX + 1 107569 KachelY + 1 41881 2.01493170 0.94819788 115.447082 54.327737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94822583-0.94819788) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94822583-0.94819788) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01493170) × cos(0.94822583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583125310617289 × 6371000     		do = 178.101479507899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01493170) × cos(0.94819788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583148016472579 × 6371000     		du = 178.108414460553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94822583)-sin(0.94819788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583125310617289-0.583148016472579)×R²
    abs(2.01493170-2.01488376)×2.27058552894066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27058552894066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27058552894066e-05×40589641000000     		ar = 31715.0499536679m²