Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107568 / 100466
↖ ↑ ↗
← S 68.770224°
E115.444336°		 ← 110.60 m → S 68.770224°
E115.447082°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.771219°
E115.444336°		 ← 110.59 m →
12 232 m²		 S 68.771219°
E115.447082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820682525634766 y=0.766498565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820682525634766 × 217)
    floor (0.820682525634766 × 131072)
    floor (107568.5)     		tx = 107568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766498565673828 × 217)
    floor (0.766498565673828 × 131072)
    floor (100466.5)     		ty = 100466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107568 / 100466 ti = "17/107568/100466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107568/100466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107568 ÷ 217
    107568 ÷ 131072     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100466 ÷ 217
    100466 ÷ 131072     		y = 0.766494750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766494750976562 × 2 - 1) × π
    -0.532989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67443590372856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67443590372856))-π/2
    2×atan(0.18741386913438)-π/2
    2×0.185264743031359-π/2
    0.370529486062718-1.57079632675     		φ = -1.20026684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20026684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.770224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107568 KachelY 100466 2.01488376 -1.20026684 115.444336 -68.770224
    Oben rechts KachelX + 1 107569 KachelY 100466 2.01493170 -1.20026684 115.447082 -68.770224
    Unten links KachelX 107568 KachelY + 1 100467 2.01488376 -1.20028420 115.444336 -68.771219
    Unten rechts KachelX + 1 107569 KachelY + 1 100467 2.01493170 -1.20028420 115.447082 -68.771219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20026684--1.20028420) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20026684--1.20028420) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01493170) × cos(-1.20026684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36210903626934 × 6371000     		do = 110.597420363177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01493170) × cos(-1.20028420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362092854338255 × 6371000     		du = 110.592477984901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20026684)-sin(-1.20028420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36210903626934-0.362092854338255)×R²
    abs(2.01493170-2.01488376)×1.61819310849909e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61819310849909e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61819310849909e-05×40589641000000     		ar = 12231.8633120647m²