Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107568 / 100462
↖ ↑ ↗
← S 68.766246°
E115.444336°		 ← 110.62 m → S 68.766246°
E115.447082°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.767240°
E115.444336°		 ← 110.61 m →
12 234 m²		 S 68.767240°
E115.447082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820682525634766 y=0.766468048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820682525634766 × 217)
    floor (0.820682525634766 × 131072)
    floor (107568.5)     		tx = 107568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766468048095703 × 217)
    floor (0.766468048095703 × 131072)
    floor (100462.5)     		ty = 100462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107568 / 100462 ti = "17/107568/100462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107568/100462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107568 ÷ 217
    107568 ÷ 131072     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100462 ÷ 217
    100462 ÷ 131072     		y = 0.766464233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766464233398438 × 2 - 1) × π
    -0.532928466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67424415613008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67424415613008))-π/2
    2×atan(0.187449808739264)-π/2
    2×0.185299462903044-π/2
    0.370598925806088-1.57079632675     		φ = -1.20019740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20019740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.766246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107568 KachelY 100462 2.01488376 -1.20019740 115.444336 -68.766246
    Oben rechts KachelX + 1 107569 KachelY 100462 2.01493170 -1.20019740 115.447082 -68.766246
    Unten links KachelX 107568 KachelY + 1 100463 2.01488376 -1.20021476 115.444336 -68.767240
    Unten rechts KachelX + 1 107569 KachelY + 1 100463 2.01493170 -1.20021476 115.447082 -68.767240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20019740--1.20021476) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20019740--1.20021476) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01493170) × cos(-1.20019740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362173762902345 × 6371000     		do = 110.617189542961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01493170) × cos(-1.20021476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362157581407804 × 6371000     		du = 110.612247298016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20019740)-sin(-1.20021476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362173762902345-0.362157581407804)×R²
    abs(2.01493170-2.01488376)×1.61814945411343e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61814945411343e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61814945411343e-05×40589641000000     		ar = 12234.0498018479m²