Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107567 / 42315
↖ ↑ ↗
← N 53.626725°
E115.441589°		 ← 181.09 m → N 53.626725°
E115.444336°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
N 53.625096°
E115.441589°		 ← 181.10 m →
32 802 m²		 N 53.625096°
E115.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820674896240234 y=0.322841644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820674896240234 × 217)
    floor (0.820674896240234 × 131072)
    floor (107567.5)     		tx = 107567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322841644287109 × 217)
    floor (0.322841644287109 × 131072)
    floor (42315.5)     		ty = 42315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107567 / 42315 ti = "17/107567/42315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107567/42315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107567 ÷ 217
    107567 ÷ 131072     		x = 0.820671081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42315 ÷ 217
    42315 ÷ 131072     		y = 0.322837829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820671081542969 × 2 - 1) × π
    0.641342163085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01483583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322837829589844 × 2 - 1) × π
    0.354324340820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.11314274607732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01483583} λ = 2.01483583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11314274607732))-π/2
    2×atan(3.04390961304306)-π/2
    2×1.2533796169803-π/2
    2.5067592339606-1.57079632675     		φ = 0.93596291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01483583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.441589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93596291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.626725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107567 KachelY 42315 2.01483583 0.93596291 115.441589 53.626725
    Oben rechts KachelX + 1 107568 KachelY 42315 2.01488376 0.93596291 115.444336 53.626725
    Unten links KachelX 107567 KachelY + 1 42316 2.01483583 0.93593448 115.441589 53.625096
    Unten rechts KachelX + 1 107568 KachelY + 1 42316 2.01488376 0.93593448 115.444336 53.625096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93596291-0.93593448) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93596291-0.93593448) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01483583-2.01488376) × cos(0.93596291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593043394702569 × 6371000     		do = 181.092934884579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01483583-2.01488376) × cos(0.93593448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593066285460176 × 6371000     		du = 181.09992485279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93596291)-sin(0.93593448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593043394702569-0.593066285460176)×R²
    abs(2.01488376-2.01483583)×2.28907576071968e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28907576071968e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28907576071968e-05×40589641000000     		ar = 32801.5490359438m²