Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107564 / 50228
↖ ↑ ↗
← N 38.711233°
E115.433350°		 ← 238.28 m → N 38.711233°
E115.436096°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
N 38.709089°
E115.433350°		 ← 238.28 m →
56 791 m²		 N 38.709089°
E115.436096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820652008056641 y=0.383213043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820652008056641 × 217)
    floor (0.820652008056641 × 131072)
    floor (107564.5)     		tx = 107564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383213043212891 × 217)
    floor (0.383213043212891 × 131072)
    floor (50228.5)     		ty = 50228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107564 / 50228 ti = "17/107564/50228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107564/50228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107564 ÷ 217
    107564 ÷ 131072     		x = 0.820648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50228 ÷ 217
    50228 ÷ 131072     		y = 0.383209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820648193359375 × 2 - 1) × π
    0.64129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01469202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383209228515625 × 2 - 1) × π
    0.23358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.73381805938382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01469202} λ = 2.01469202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.73381805938382))-π/2
    2×atan(2.08301853275213)-π/2
    2×1.12321739604421-π/2
    2.24643479208841-1.57079632675     		φ = 0.67563847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01469202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67563847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.711233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107564 KachelY 50228 2.01469202 0.67563847 115.433350 38.711233
    Oben rechts KachelX + 1 107565 KachelY 50228 2.01473995 0.67563847 115.436096 38.711233
    Unten links KachelX 107564 KachelY + 1 50229 2.01469202 0.67560106 115.433350 38.709089
    Unten rechts KachelX + 1 107565 KachelY + 1 50229 2.01473995 0.67560106 115.436096 38.709089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67563847-0.67560106) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67563847-0.67560106) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01469202-2.01473995) × cos(0.67563847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780307813844519 × 6371000     		do = 238.27637806057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01469202-2.01473995) × cos(0.67560106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.780331209349655 × 6371000     		du = 238.283522159512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67563847)-sin(0.67560106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780307813844519-0.780331209349655)×R²
    abs(2.01473995-2.01469202)×2.33955051361923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33955051361923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33955051361923e-05×40589641000000     		ar = 56791.4312467037m²