Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107564 / 41996
↖ ↑ ↗
← N 54.143133°
E115.433350°		 ← 178.87 m → N 54.143133°
E115.436096°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
N 54.141524°
E115.433350°		 ← 178.88 m →
32 000 m²		 N 54.141524°
E115.436096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820652008056641 y=0.320407867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820652008056641 × 217)
    floor (0.820652008056641 × 131072)
    floor (107564.5)     		tx = 107564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320407867431641 × 217)
    floor (0.320407867431641 × 131072)
    floor (41996.5)     		ty = 41996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107564 / 41996 ti = "17/107564/41996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107564/41996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107564 ÷ 217
    107564 ÷ 131072     		x = 0.820648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41996 ÷ 217
    41996 ÷ 131072     		y = 0.320404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820648193359375 × 2 - 1) × π
    0.64129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01469202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320404052734375 × 2 - 1) × π
    0.35919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12843461705612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01469202} λ = 2.01469202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12843461705612))-π/2
    2×atan(3.09081440309613)-π/2
    2×1.25788612668029-π/2
    2.51577225336058-1.57079632675     		φ = 0.94497593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01469202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94497593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.143133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107564 KachelY 41996 2.01469202 0.94497593 115.433350 54.143133
    Oben rechts KachelX + 1 107565 KachelY 41996 2.01473995 0.94497593 115.436096 54.143133
    Unten links KachelX 107564 KachelY + 1 41997 2.01469202 0.94494785 115.433350 54.141524
    Unten rechts KachelX + 1 107565 KachelY + 1 41997 2.01473995 0.94494785 115.436096 54.141524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94497593-0.94494785) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dl = 178.89767999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94497593-0.94494785) × R
    2.80799999999859e-05 × 6371000     		dr = 178.89767999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01469202-2.01473995) × cos(0.94497593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.58576238750974 × 6371000     		do = 178.86959174773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01469202-2.01473995) × cos(0.94494785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.585785145636803 × 6371000     		du = 178.876541215609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94497593)-sin(0.94494785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58576238750974-0.585785145636803)×R²
    abs(2.01473995-2.01469202)×2.27581270630939e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27581270630939e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27581270630939e-05×40589641000000     		ar = 31999.9766102132m²