Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107563 / 100461
↖ ↑ ↗
← S 68.765251°
E115.430603°		 ← 110.62 m → S 68.765251°
E115.433350°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.766246°
E115.430603°		 ← 110.62 m →
12 235 m²		 S 68.766246°
E115.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820644378662109 y=0.766460418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820644378662109 × 217)
    floor (0.820644378662109 × 131072)
    floor (107563.5)     		tx = 107563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766460418701172 × 217)
    floor (0.766460418701172 × 131072)
    floor (100461.5)     		ty = 100461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107563 / 100461 ti = "17/107563/100461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107563/100461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107563 ÷ 217
    107563 ÷ 131072     		x = 0.820640563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100461 ÷ 217
    100461 ÷ 131072     		y = 0.766456604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820640563964844 × 2 - 1) × π
    0.641281127929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.01464408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766456604003906 × 2 - 1) × π
    -0.532913208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.67419621923046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01464408} λ = 2.01464408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67419621923046))-π/2
    2×atan(0.187458794717308)-π/2
    2×0.185308143840622-π/2
    0.370616287681243-1.57079632675     		φ = -1.20018004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01464408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.430603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20018004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.765251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107563 KachelY 100461 2.01464408 -1.20018004 115.430603 -68.765251
    Oben rechts KachelX + 1 107564 KachelY 100461 2.01469202 -1.20018004 115.433350 -68.765251
    Unten links KachelX 107563 KachelY + 1 100462 2.01464408 -1.20019740 115.430603 -68.766246
    Unten rechts KachelX + 1 107564 KachelY + 1 100462 2.01469202 -1.20019740 115.433350 -68.766246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20018004--1.20019740) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20018004--1.20019740) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01464408-2.01469202) × cos(-1.20018004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362189944287738 × 6371000     		do = 110.622131754569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01464408-2.01469202) × cos(-1.20019740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362173762902345 × 6371000     		du = 110.617189542961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20018004)-sin(-1.20019740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362189944287738-0.362173762902345)×R²
    abs(2.01469202-2.01464408)×1.61813853929438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61813853929438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61813853929438e-05×40589641000000     		ar = 12234.5964151662m²