Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10756 / 15876
↖ ↑ ↗
← N 67.600849°
W120.915527°		 ← 232.74 m → N 67.600849°
W120.910034°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
N 67.598756°
W120.915527°		 ← 232.77 m →
54 185 m²		 N 67.598756°
W120.910034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164131164550781 y=0.242256164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164131164550781 × 216)
    floor (0.164131164550781 × 65536)
    floor (10756.5)     		tx = 10756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242256164550781 × 216)
    floor (0.242256164550781 × 65536)
    floor (15876.5)     		ty = 15876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10756 / 15876 ti = "16/10756/15876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10756/15876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10756 ÷ 216
    10756 ÷ 65536     		x = 0.16412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15876 ÷ 216
    15876 ÷ 65536     		y = 0.24224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.6717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11037407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24224853515625 × 2 - 1) × π
    0.5155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61950021676398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11037407} λ = -2.11037407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61950021676398))-π/2
    2×atan(5.05056549771716)-π/2
    2×1.37532686177077-π/2
    2.75065372354154-1.57079632675     		φ = 1.17985740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11037407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.915527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17985740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.600849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10756 KachelY 15876 -2.11037407 1.17985740 -120.915527 67.600849
    Oben rechts KachelX + 1 10757 KachelY 15876 -2.11027820 1.17985740 -120.910034 67.600849
    Unten links KachelX 10756 KachelY + 1 15877 -2.11037407 1.17982086 -120.915527 67.598756
    Unten rechts KachelX + 1 10757 KachelY + 1 15877 -2.11027820 1.17982086 -120.910034 67.598756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17985740-1.17982086) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17985740-1.17982086) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11037407--2.11027820) × cos(1.17985740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381056669310797 × 6371000     		do = 232.744753291964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11037407--2.11027820) × cos(1.17982086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381090452174903 × 6371000     		du = 232.765387452195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17985740)-sin(1.17982086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381056669310797-0.381090452174903)×R²
    abs(-2.11027820--2.11037407)×3.37828641059357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37828641059357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37828641059357e-05×40589641000000     		ar = 54184.528505311m²