Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107558 / 42807
↖ ↑ ↗
← N 52.817703°
E115.416870°		 ← 184.55 m → N 52.817703°
E115.419617°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 52.816043°
E115.416870°		 ← 184.55 m →
34 062 m²		 N 52.816043°
E115.419617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820606231689453 y=0.326595306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820606231689453 × 217)
    floor (0.820606231689453 × 131072)
    floor (107558.5)     		tx = 107558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326595306396484 × 217)
    floor (0.326595306396484 × 131072)
    floor (42807.5)     		ty = 42807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107558 / 42807 ti = "17/107558/42807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107558/42807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107558 ÷ 217
    107558 ÷ 131072     		x = 0.820602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42807 ÷ 217
    42807 ÷ 131072     		y = 0.326591491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820602416992188 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326591491699219 × 2 - 1) × π
    0.346817016601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.08955779146426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01440440} λ = 2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08955779146426))-π/2
    2×atan(2.97295911394493)-π/2
    2×1.24631957485266-π/2
    2.49263914970532-1.57079632675     		φ = 0.92184282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92184282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.817703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107558 KachelY 42807 2.01440440 0.92184282 115.416870 52.817703
    Oben rechts KachelX + 1 107559 KachelY 42807 2.01445233 0.92184282 115.419617 52.817703
    Unten links KachelX 107558 KachelY + 1 42808 2.01440440 0.92181385 115.416870 52.816043
    Unten rechts KachelX + 1 107559 KachelY + 1 42808 2.01445233 0.92181385 115.419617 52.816043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92184282-0.92181385) × R
    2.8969999999906e-05 × 6371000     		dl = 184.567869999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92184282-0.92181385) × R
    2.8969999999906e-05 × 6371000     		dr = 184.567869999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(0.92184282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604352978217906 × 6371000     		do = 184.546452265279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(0.92181385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604376058846691 × 6371000     		du = 184.553500212938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92184282)-sin(0.92181385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604352978217906-0.604376058846691)×R²
    abs(2.01445233-2.01440440)×2.30806287846441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30806287846441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30806287846441e-05×40589641000000     		ar = 34061.9960250899m²