Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107558 / 42266
↖ ↑ ↗
← N 53.706462°
E115.416870°		 ← 180.75 m → N 53.706462°
E115.419617°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
N 53.704836°
E115.416870°		 ← 180.76 m →
32 670 m²		 N 53.704836°
E115.419617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820606231689453 y=0.322467803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820606231689453 × 217)
    floor (0.820606231689453 × 131072)
    floor (107558.5)     		tx = 107558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322467803955078 × 217)
    floor (0.322467803955078 × 131072)
    floor (42266.5)     		ty = 42266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107558 / 42266 ti = "17/107558/42266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107558/42266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107558 ÷ 217
    107558 ÷ 131072     		x = 0.820602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42266 ÷ 217
    42266 ÷ 131072     		y = 0.322463989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820602416992188 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322463989257812 × 2 - 1) × π
    0.355072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11549165415871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01440440} λ = 2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11549165415871))-π/2
    2×atan(3.05106788069727)-π/2
    2×1.2540754607471-π/2
    2.50815092149421-1.57079632675     		φ = 0.93735459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93735459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.706462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107558 KachelY 42266 2.01440440 0.93735459 115.416870 53.706462
    Oben rechts KachelX + 1 107559 KachelY 42266 2.01445233 0.93735459 115.419617 53.706462
    Unten links KachelX 107558 KachelY + 1 42267 2.01440440 0.93732622 115.416870 53.704836
    Unten rechts KachelX + 1 107559 KachelY + 1 42267 2.01445233 0.93732622 115.419617 53.704836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93735459-0.93732622) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93735459-0.93732622) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(0.93735459) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591922281089433 × 6371000     		do = 180.750589355811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(0.93732622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591945146930661 × 6371000     		du = 180.757571715505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93735459)-sin(0.93732622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591922281089433-0.591945146930661)×R²
    abs(2.01445233-2.01440440)×2.28658412275706e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28658412275706e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28658412275706e-05×40589641000000     		ar = 32670.4450923756m²