Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107558 / 100452
↖ ↑ ↗
← S 68.756296°
E115.416870°		 ← 110.64 m → S 68.756296°
E115.419617°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
S 68.757291°
E115.416870°		 ← 110.64 m →
12 244 m²		 S 68.757291°
E115.419617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820606231689453 y=0.766391754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820606231689453 × 217)
    floor (0.820606231689453 × 131072)
    floor (107558.5)     		tx = 107558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766391754150391 × 217)
    floor (0.766391754150391 × 131072)
    floor (100452.5)     		ty = 100452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107558 / 100452 ti = "17/107558/100452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107558/100452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107558 ÷ 217
    107558 ÷ 131072     		x = 0.820602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100452 ÷ 217
    100452 ÷ 131072     		y = 0.766387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820602416992188 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.53277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67376478713388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01440440} λ = 2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67376478713388))-π/2
    2×atan(0.18753968790684)-π/2
    2×0.185386289735725-π/2
    0.37077257947145-1.57079632675     		φ = -1.20002375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20002375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.756296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107558 KachelY 100452 2.01440440 -1.20002375 115.416870 -68.756296
    Oben rechts KachelX + 1 107559 KachelY 100452 2.01445233 -1.20002375 115.419617 -68.756296
    Unten links KachelX 107558 KachelY + 1 100453 2.01440440 -1.20004112 115.416870 -68.757291
    Unten rechts KachelX + 1 107559 KachelY + 1 100453 2.01445233 -1.20004112 115.419617 -68.757291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20002375--1.20004112) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dl = 110.664270000813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20002375--1.20004112) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dr = 110.664270000813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(-1.20002375) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362335618446188 × 6371000     		do = 110.643539990101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(-1.20004112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362319428723122 × 6371000     		du = 110.638596263401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20002375)-sin(-1.20004112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362335618446188-0.362319428723122)×R²
    abs(2.01445233-2.01440440)×1.61897230655517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61897230655517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61897230655517e-05×40589641000000     		ar = 12244.0130366959m²