Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107558 / 100450
↖ ↑ ↗
← S 68.754306°
E115.416870°		 ← 110.65 m → S 68.754306°
E115.419617°		 →
↑
110.66 m
↓
↑
110.66 m
↓
S 68.755301°
E115.416870°		 ← 110.65 m →
12 245 m²		 S 68.755301°
E115.419617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820606231689453 y=0.766376495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820606231689453 × 217)
    floor (0.820606231689453 × 131072)
    floor (107558.5)     		tx = 107558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766376495361328 × 217)
    floor (0.766376495361328 × 131072)
    floor (100450.5)     		ty = 100450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107558 / 100450 ti = "17/107558/100450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107558/100450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107558 ÷ 217
    107558 ÷ 131072     		x = 0.820602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100450 ÷ 217
    100450 ÷ 131072     		y = 0.766372680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820602416992188 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766372680664062 × 2 - 1) × π
    -0.532745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67366891333464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01440440} λ = 2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67366891333464))-π/2
    2×atan(0.187557668911167)-π/2
    2×0.185403659758083-π/2
    0.370807319516167-1.57079632675     		φ = -1.19998901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19998901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.754306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107558 KachelY 100450 2.01440440 -1.19998901 115.416870 -68.754306
    Oben rechts KachelX + 1 107559 KachelY 100450 2.01445233 -1.19998901 115.419617 -68.754306
    Unten links KachelX 107558 KachelY + 1 100451 2.01440440 -1.20000638 115.416870 -68.755301
    Unten rechts KachelX + 1 107559 KachelY + 1 100451 2.01445233 -1.20000638 115.419617 -68.755301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19998901--1.20000638) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dl = 110.664270000813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19998901--1.20000638) × R
    1.73700000001276e-05 × 6371000     		dr = 110.664270000813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(-1.19998901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362367997564345 × 6371000     		do = 110.653427343351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01440440-2.01445233) × cos(-1.20000638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36235180805993 × 6371000     		du = 110.648483683418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19998901)-sin(-1.20000638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362367997564345-0.36235180805993)×R²
    abs(2.01445233-2.01440440)×1.61895044151206e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61895044151206e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61895044151206e-05×40589641000000     		ar = 12245.1072171871m²