Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107557 / 42573
↖ ↑ ↗
← N 53.204388°
E115.414124°		 ← 182.94 m → N 53.204388°
E115.416870°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 53.202743°
E115.414124°		 ← 182.95 m →
33 462 m²		 N 53.202743°
E115.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820598602294922 y=0.324810028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820598602294922 × 217)
    floor (0.820598602294922 × 131072)
    floor (107557.5)     		tx = 107557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324810028076172 × 217)
    floor (0.324810028076172 × 131072)
    floor (42573.5)     		ty = 42573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107557 / 42573 ti = "17/107557/42573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107557/42573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107557 ÷ 217
    107557 ÷ 131072     		x = 0.820594787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42573 ÷ 217
    42573 ÷ 131072     		y = 0.324806213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820594787597656 × 2 - 1) × π
    0.641189575195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01435646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324806213378906 × 2 - 1) × π
    0.350387573242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.10077502597535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01435646} λ = 2.01435646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10077502597535))-π/2
    2×atan(3.00649523313147)-π/2
    2×1.24969403244039-π/2
    2.49938806488077-1.57079632675     		φ = 0.92859174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01435646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.414124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92859174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.204388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107557 KachelY 42573 2.01435646 0.92859174 115.414124 53.204388
    Oben rechts KachelX + 1 107558 KachelY 42573 2.01440440 0.92859174 115.416870 53.204388
    Unten links KachelX 107557 KachelY + 1 42574 2.01435646 0.92856303 115.414124 53.202743
    Unten rechts KachelX + 1 107558 KachelY + 1 42574 2.01440440 0.92856303 115.416870 53.202743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92859174-0.92856303) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92859174-0.92856303) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01435646-2.01440440) × cos(0.92859174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598962278401161 × 6371000     		do = 182.938497112641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01435646-2.01440440) × cos(0.92856303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598985268468884 × 6371000     		du = 182.945518871088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92859174)-sin(0.92856303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598962278401161-0.598985268468884)×R²
    abs(2.01440440-2.01435646)×2.29900677227723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29900677227723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29900677227723e-05×40589641000000     		ar = 33462.1806322579m²