Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107557 / 42542
↖ ↑ ↗
← N 53.255355°
E115.414124°		 ← 182.72 m → N 53.255355°
E115.416870°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
N 53.253712°
E115.414124°		 ← 182.73 m →
33 387 m²		 N 53.253712°
E115.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820598602294922 y=0.324573516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820598602294922 × 217)
    floor (0.820598602294922 × 131072)
    floor (107557.5)     		tx = 107557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324573516845703 × 217)
    floor (0.324573516845703 × 131072)
    floor (42542.5)     		ty = 42542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107557 / 42542 ti = "17/107557/42542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107557/42542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107557 ÷ 217
    107557 ÷ 131072     		x = 0.820594787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42542 ÷ 217
    42542 ÷ 131072     		y = 0.324569702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820594787597656 × 2 - 1) × π
    0.641189575195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01435646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324569702148438 × 2 - 1) × π
    0.350860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10226106986357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01435646} λ = 2.01435646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10226106986357))-π/2
    2×atan(3.01096633830409)-π/2
    2×1.25013880980654-π/2
    2.50027761961307-1.57079632675     		φ = 0.92948129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01435646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.414124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92948129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.255355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107557 KachelY 42542 2.01435646 0.92948129 115.414124 53.255355
    Oben rechts KachelX + 1 107558 KachelY 42542 2.01440440 0.92948129 115.416870 53.255355
    Unten links KachelX 107557 KachelY + 1 42543 2.01435646 0.92945261 115.414124 53.253712
    Unten rechts KachelX + 1 107558 KachelY + 1 42543 2.01440440 0.92945261 115.416870 53.253712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92948129-0.92945261) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dl = 182.72028000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92948129-0.92945261) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dr = 182.72028000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01435646-2.01440440) × cos(0.92948129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598249710121565 × 6371000     		do = 182.720860418545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01435646-2.01440440) × cos(0.92945261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598272691438592 × 6371000     		du = 182.727879504304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92948129)-sin(0.92945261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598249710121565-0.598272691438592)×R²
    abs(2.01440440-2.01435646)×2.29813170273818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29813170273818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29813170273818e-05×40589641000000     		ar = 33387.4480445475m²