Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107557 / 100499
↖ ↑ ↗
← S 68.803021°
E115.414124°		 ← 110.43 m → S 68.803021°
E115.416870°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.804014°
E115.414124°		 ← 110.43 m →
12 193 m²		 S 68.804014°
E115.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820598602294922 y=0.766750335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820598602294922 × 217)
    floor (0.820598602294922 × 131072)
    floor (107557.5)     		tx = 107557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766750335693359 × 217)
    floor (0.766750335693359 × 131072)
    floor (100499.5)     		ty = 100499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107557 / 100499 ti = "17/107557/100499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107557/100499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107557 ÷ 217
    107557 ÷ 131072     		x = 0.820594787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100499 ÷ 217
    100499 ÷ 131072     		y = 0.766746520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820594787597656 × 2 - 1) × π
    0.641189575195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01435646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766746520996094 × 2 - 1) × π
    -0.533493041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67601782141602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01435646} λ = 2.01435646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67601782141602))-π/2
    2×atan(0.187117630194507)-π/2
    2×0.184978540766266-π/2
    0.369957081532533-1.57079632675     		φ = -1.20083925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01435646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.414124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20083925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.803021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107557 KachelY 100499 2.01435646 -1.20083925 115.414124 -68.803021
    Oben rechts KachelX + 1 107558 KachelY 100499 2.01440440 -1.20083925 115.416870 -68.803021
    Unten links KachelX 107557 KachelY + 1 100500 2.01435646 -1.20085658 115.414124 -68.804014
    Unten rechts KachelX + 1 107558 KachelY + 1 100500 2.01440440 -1.20085658 115.416870 -68.804014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20083925--1.20085658) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20083925--1.20085658) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01435646-2.01440440) × cos(-1.20083925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361575413153975 × 6371000     		do = 110.434438128286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01435646-2.01440440) × cos(-1.20085658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361559255597805 × 6371000     		du = 110.429503194736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20083925)-sin(-1.20085658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361575413153975-0.361559255597805)×R²
    abs(2.01440440-2.01435646)×1.61575561702931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61575561702931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61575561702931e-05×40589641000000     		ar = 12192.7309348259m²