Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107556 / 47780
↖ ↑ ↗
← N 43.763160°
E115.411377°		 ← 220.58 m → N 43.763160°
E115.414124°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.761176°
E115.411377°		 ← 220.59 m →
48 653 m²		 N 43.761176°
E115.414124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820590972900391 y=0.364536285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820590972900391 × 217)
    floor (0.820590972900391 × 131072)
    floor (107556.5)     		tx = 107556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364536285400391 × 217)
    floor (0.364536285400391 × 131072)
    floor (47780.5)     		ty = 47780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107556 / 47780 ti = "17/107556/47780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107556/47780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107556 ÷ 217
    107556 ÷ 131072     		x = 0.820587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47780 ÷ 217
    47780 ÷ 131072     		y = 0.364532470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820587158203125 × 2 - 1) × π
    0.64117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01430852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364532470703125 × 2 - 1) × π
    0.27093505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851167589653717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01430852} λ = 2.01430852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851167589653717))-π/2
    2×atan(2.34238019478455)-π/2
    2×1.16730377959186-π/2
    2.33460755918372-1.57079632675     		φ = 0.76381123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01430852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76381123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.763160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107556 KachelY 47780 2.01430852 0.76381123 115.411377 43.763160
    Oben rechts KachelX + 1 107557 KachelY 47780 2.01435646 0.76381123 115.414124 43.763160
    Unten links KachelX 107556 KachelY + 1 47781 2.01430852 0.76377661 115.411377 43.761176
    Unten rechts KachelX + 1 107557 KachelY + 1 47781 2.01435646 0.76377661 115.414124 43.761176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76381123-0.76377661) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76381123-0.76377661) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01430852-2.01435646) × cos(0.76381123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722205114731109 × 6371000     		do = 220.580031598389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01430852-2.01435646) × cos(0.76377661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.722229060223615 × 6371000     		du = 220.587345168158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76381123)-sin(0.76377661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722205114731109-0.722229060223615)×R²
    abs(2.01435646-2.01430852)×2.39454925063942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39454925063942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39454925063942e-05×40589641000000     		ar = 48652.8250608949m²