Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107556 / 41885
↖ ↑ ↗
← N 54.321329°
E115.411377°		 ← 178.14 m → N 54.321329°
E115.414124°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
N 54.319727°
E115.411377°		 ← 178.14 m →
31 733 m²		 N 54.319727°
E115.414124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820590972900391 y=0.319561004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820590972900391 × 217)
    floor (0.820590972900391 × 131072)
    floor (107556.5)     		tx = 107556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319561004638672 × 217)
    floor (0.319561004638672 × 131072)
    floor (41885.5)     		ty = 41885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107556 / 41885 ti = "17/107556/41885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107556/41885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107556 ÷ 217
    107556 ÷ 131072     		x = 0.820587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41885 ÷ 217
    41885 ÷ 131072     		y = 0.319557189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820587158203125 × 2 - 1) × π
    0.64117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01430852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319557189941406 × 2 - 1) × π
    0.360885620117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13375561291395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01430852} λ = 2.01430852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13375561291395))-π/2
    2×atan(3.10730444655191)-π/2
    2×1.25944118822088-π/2
    2.51888237644177-1.57079632675     		φ = 0.94808605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01430852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94808605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.321329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107556 KachelY 41885 2.01430852 0.94808605 115.411377 54.321329
    Oben rechts KachelX + 1 107557 KachelY 41885 2.01435646 0.94808605 115.414124 54.321329
    Unten links KachelX 107556 KachelY + 1 41886 2.01430852 0.94805809 115.411377 54.319727
    Unten rechts KachelX + 1 107557 KachelY + 1 41886 2.01435646 0.94805809 115.414124 54.319727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94808605-0.94805809) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dl = 178.133160000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94808605-0.94805809) × R
    2.79600000000491e-05 × 6371000     		dr = 178.133160000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01430852-2.01435646) × cos(0.94808605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583238859707013 × 6371000     		do = 178.136160322654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01430852-2.01435646) × cos(0.94805809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583261571406697 × 6371000     		du = 178.143097060336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94808605)-sin(0.94805809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583238859707013-0.583261571406697)×R²
    abs(2.01435646-2.01430852)×2.27116996835974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27116996835974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27116996835974e-05×40589641000000     		ar = 31732.5749820564m²