Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107555 / 41886
↖ ↑ ↗
← N 54.319727°
E115.408631°		 ← 178.11 m → N 54.319727°
E115.411377°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
N 54.318125°
E115.408631°		 ← 178.11 m →
31 727 m²		 N 54.318125°
E115.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820583343505859 y=0.319568634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820583343505859 × 217)
    floor (0.820583343505859 × 131072)
    floor (107555.5)     		tx = 107555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319568634033203 × 217)
    floor (0.319568634033203 × 131072)
    floor (41886.5)     		ty = 41886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107555 / 41886 ti = "17/107555/41886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107555/41886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107555 ÷ 217
    107555 ÷ 131072     		x = 0.820579528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41886 ÷ 217
    41886 ÷ 131072     		y = 0.319564819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820579528808594 × 2 - 1) × π
    0.641159057617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01426059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319564819335938 × 2 - 1) × π
    0.360870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13370767601433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01426059} λ = 2.01426059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13370767601433))-π/2
    2×atan(3.10715549558072)-π/2
    2×1.25942720861737-π/2
    2.51885441723473-1.57079632675     		φ = 0.94805809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01426059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.408631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94805809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.319727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107555 KachelY 41886 2.01426059 0.94805809 115.408631 54.319727
    Oben rechts KachelX + 1 107556 KachelY 41886 2.01430852 0.94805809 115.411377 54.319727
    Unten links KachelX 107555 KachelY + 1 41887 2.01426059 0.94803013 115.408631 54.318125
    Unten rechts KachelX + 1 107556 KachelY + 1 41887 2.01430852 0.94803013 115.411377 54.318125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94805809-0.94803013) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94805809-0.94803013) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01426059-2.01430852) × cos(0.94805809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583261571406697 × 6371000     		do = 178.105937465848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01426059-2.01430852) × cos(0.94803013) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583284282650409 × 6371000     		du = 178.112872617332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94805809)-sin(0.94803013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583261571406697-0.583284282650409)×R²
    abs(2.01430852-2.01426059)×2.27112437118926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27112437118926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27112437118926e-05×40589641000000     		ar = 31727.1911479306m²