Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107555 / 41875
↖ ↑ ↗
← N 54.337345°
E115.408631°		 ← 178.03 m → N 54.337345°
E115.411377°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
N 54.335744°
E115.408631°		 ← 178.04 m →
31 702 m²		 N 54.335744°
E115.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820583343505859 y=0.319484710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820583343505859 × 217)
    floor (0.820583343505859 × 131072)
    floor (107555.5)     		tx = 107555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319484710693359 × 217)
    floor (0.319484710693359 × 131072)
    floor (41875.5)     		ty = 41875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107555 / 41875 ti = "17/107555/41875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107555/41875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107555 ÷ 217
    107555 ÷ 131072     		x = 0.820579528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41875 ÷ 217
    41875 ÷ 131072     		y = 0.319480895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820579528808594 × 2 - 1) × π
    0.641159057617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.01426059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319480895996094 × 2 - 1) × π
    0.361038208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13423498191015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01426059} λ = 2.01426059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13423498191015))-π/2
    2×atan(3.10879434904335)-π/2
    2×1.25958095431884-π/2
    2.51916190863768-1.57079632675     		φ = 0.94836558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01426059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.408631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94836558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.337345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107555 KachelY 41875 2.01426059 0.94836558 115.408631 54.337345
    Oben rechts KachelX + 1 107556 KachelY 41875 2.01430852 0.94836558 115.411377 54.337345
    Unten links KachelX 107555 KachelY + 1 41876 2.01426059 0.94833763 115.408631 54.335744
    Unten rechts KachelX + 1 107556 KachelY + 1 41876 2.01430852 0.94833763 115.411377 54.335744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94836558-0.94833763) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94836558-0.94833763) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01426059-2.01430852) × cos(0.94836558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.583011774508113 × 6371000     		do = 178.029658977809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01426059-2.01430852) × cos(0.94833763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.58303448264092 × 6371000     		du = 178.03659317934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94836558)-sin(0.94833763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583011774508113-0.58303448264092)×R²
    abs(2.01430852-2.01426059)×2.27081328066925e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27081328066925e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27081328066925e-05×40589641000000     		ar = 31702.2608445474m²