Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107554 / 42797
↖ ↑ ↗
← N 52.834299°
E115.405884°		 ← 184.51 m → N 52.834299°
E115.408631°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.832640°
E115.405884°		 ← 184.52 m →
34 044 m²		 N 52.832640°
E115.408631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820575714111328 y=0.326519012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820575714111328 × 217)
    floor (0.820575714111328 × 131072)
    floor (107554.5)     		tx = 107554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326519012451172 × 217)
    floor (0.326519012451172 × 131072)
    floor (42797.5)     		ty = 42797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107554 / 42797 ti = "17/107554/42797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107554/42797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107554 ÷ 217
    107554 ÷ 131072     		x = 0.820571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42797 ÷ 217
    42797 ÷ 131072     		y = 0.326515197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820571899414062 × 2 - 1) × π
    0.641143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01421265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326515197753906 × 2 - 1) × π
    0.346969604492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.09003716046046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01421265} λ = 2.01421265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09003716046046))-π/2
    2×atan(2.97438460001074)-π/2
    2×1.24646440123244-π/2
    2.49292880246488-1.57079632675     		φ = 0.92213248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01421265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92213248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.834299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107554 KachelY 42797 2.01421265 0.92213248 115.405884 52.834299
    Oben rechts KachelX + 1 107555 KachelY 42797 2.01426059 0.92213248 115.408631 52.834299
    Unten links KachelX 107554 KachelY + 1 42798 2.01421265 0.92210352 115.405884 52.832640
    Unten rechts KachelX + 1 107555 KachelY + 1 42798 2.01426059 0.92210352 115.408631 52.832640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92213248-0.92210352) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dl = 184.504160000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92213248-0.92210352) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dr = 184.504160000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(0.92213248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604122175912384 × 6371000     		do = 184.514462628329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(0.92210352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604145253642953 × 6371000     		du = 184.521511161266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92213248)-sin(0.92210352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604122175912384-0.604145253642953)×R²
    abs(2.01426059-2.01421265)×2.30777305690877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30777305690877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30777305690877e-05×40589641000000     		ar = 34044.3361793028m²