Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107554 / 42278
↖ ↑ ↗
← N 53.686949°
E115.405884°		 ← 180.87 m → N 53.686949°
E115.408631°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.685322°
E115.405884°		 ← 180.88 m →
32 715 m²		 N 53.685322°
E115.408631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820575714111328 y=0.322559356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820575714111328 × 217)
    floor (0.820575714111328 × 131072)
    floor (107554.5)     		tx = 107554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322559356689453 × 217)
    floor (0.322559356689453 × 131072)
    floor (42278.5)     		ty = 42278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107554 / 42278 ti = "17/107554/42278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107554/42278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107554 ÷ 217
    107554 ÷ 131072     		x = 0.820571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42278 ÷ 217
    42278 ÷ 131072     		y = 0.322555541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820571899414062 × 2 - 1) × π
    0.641143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01421265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322555541992188 × 2 - 1) × π
    0.354888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11491641136327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01421265} λ = 2.01421265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11491641136327))-π/2
    2×atan(3.04931328058942)-π/2
    2×1.25390517176407-π/2
    2.50781034352814-1.57079632675     		φ = 0.93701402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01421265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93701402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.686949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107554 KachelY 42278 2.01421265 0.93701402 115.405884 53.686949
    Oben rechts KachelX + 1 107555 KachelY 42278 2.01426059 0.93701402 115.408631 53.686949
    Unten links KachelX 107554 KachelY + 1 42279 2.01421265 0.93698563 115.405884 53.685322
    Unten rechts KachelX + 1 107555 KachelY + 1 42279 2.01426059 0.93698563 115.408631 53.685322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93701402-0.93698563) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93701402-0.93698563) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(0.93701402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592196744488808 × 6371000     		do = 180.872128910966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(0.93698563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592219620724995 × 6371000     		du = 180.879115902332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93701402)-sin(0.93698563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592196744488808-0.592219620724995)×R²
    abs(2.01426059-2.01421265)×2.28762361871304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28762361871304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28762361871304e-05×40589641000000     		ar = 32715.4603824489m²