Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107554 / 41870
↖ ↑ ↗
← N 54.345351°
E115.405884°		 ← 178.03 m → N 54.345351°
E115.408631°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
N 54.343750°
E115.405884°		 ← 178.04 m →
31 703 m²		 N 54.343750°
E115.408631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820575714111328 y=0.319446563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820575714111328 × 217)
    floor (0.820575714111328 × 131072)
    floor (107554.5)     		tx = 107554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319446563720703 × 217)
    floor (0.319446563720703 × 131072)
    floor (41870.5)     		ty = 41870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107554 / 41870 ti = "17/107554/41870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107554/41870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107554 ÷ 217
    107554 ÷ 131072     		x = 0.820571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41870 ÷ 217
    41870 ÷ 131072     		y = 0.319442749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820571899414062 × 2 - 1) × π
    0.641143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01421265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319442749023438 × 2 - 1) × π
    0.361114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13447466640825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01421265} λ = 2.01421265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13447466640825))-π/2
    2×atan(3.10953956816176)-π/2
    2×1.25965081695815-π/2
    2.51930163391629-1.57079632675     		φ = 0.94850531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01421265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94850531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.345351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107554 KachelY 41870 2.01421265 0.94850531 115.405884 54.345351
    Oben rechts KachelX + 1 107555 KachelY 41870 2.01426059 0.94850531 115.408631 54.345351
    Unten links KachelX 107554 KachelY + 1 41871 2.01421265 0.94847736 115.405884 54.343750
    Unten rechts KachelX + 1 107555 KachelY + 1 41871 2.01426059 0.94847736 115.408631 54.343750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94850531-0.94847736) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94850531-0.94847736) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(0.94850531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582898243263583 × 6371000     		do = 178.032127293363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(0.94847736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582920953673138 × 6371000     		du = 178.039063637007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94850531)-sin(0.94847736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582898243263583-0.582920953673138)×R²
    abs(2.01426059-2.01421265)×2.27104095548158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27104095548158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27104095548158e-05×40589641000000     		ar = 31702.7005670011m²