Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107554 / 100494
↖ ↑ ↗
← S 68.798055°
E115.405884°		 ← 110.46 m → S 68.798055°
E115.408631°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.799048°
E115.405884°		 ← 110.45 m →
12 202 m²		 S 68.799048°
E115.408631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820575714111328 y=0.766712188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820575714111328 × 217)
    floor (0.820575714111328 × 131072)
    floor (107554.5)     		tx = 107554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766712188720703 × 217)
    floor (0.766712188720703 × 131072)
    floor (100494.5)     		ty = 100494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107554 / 100494 ti = "17/107554/100494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107554/100494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107554 ÷ 217
    107554 ÷ 131072     		x = 0.820571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100494 ÷ 217
    100494 ÷ 131072     		y = 0.766708374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820571899414062 × 2 - 1) × π
    0.641143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01421265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766708374023438 × 2 - 1) × π
    -0.533416748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67577813691792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01421265} λ = 2.01421265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67577813691792))-π/2
    2×atan(0.187162484765044)-π/2
    2×0.185021877619478-π/2
    0.370043755238955-1.57079632675     		φ = -1.20075257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01421265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20075257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.798055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107554 KachelY 100494 2.01421265 -1.20075257 115.405884 -68.798055
    Oben rechts KachelX + 1 107555 KachelY 100494 2.01426059 -1.20075257 115.408631 -68.798055
    Unten links KachelX 107554 KachelY + 1 100495 2.01421265 -1.20076991 115.405884 -68.799048
    Unten rechts KachelX + 1 107555 KachelY + 1 100495 2.01426059 -1.20076991 115.408631 -68.799048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20075257--1.20076991) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20075257--1.20076991) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(-1.20075257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361656227275202 × 6371000     		do = 110.459120841064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01421265-2.01426059) × cos(-1.20076991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361640060939048 × 6371000     		du = 110.454183225882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20075257)-sin(-1.20076991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361656227275202-0.361640060939048)×R²
    abs(2.01426059-2.01421265)×1.61663361540887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61663361540887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61663361540887e-05×40589641000000     		ar = 12202.4931843816m²