Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107553 / 42269
↖ ↑ ↗
← N 53.701585°
E115.403137°		 ← 180.81 m → N 53.701585°
E115.405884°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.699959°
E115.403137°		 ← 180.82 m →
32 693 m²		 N 53.699959°
E115.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820568084716797 y=0.322490692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820568084716797 × 217)
    floor (0.820568084716797 × 131072)
    floor (107553.5)     		tx = 107553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322490692138672 × 217)
    floor (0.322490692138672 × 131072)
    floor (42269.5)     		ty = 42269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107553 / 42269 ti = "17/107553/42269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107553/42269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107553 ÷ 217
    107553 ÷ 131072     		x = 0.820564270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42269 ÷ 217
    42269 ÷ 131072     		y = 0.322486877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820564270019531 × 2 - 1) × π
    0.641128540039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.01416471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322486877441406 × 2 - 1) × π
    0.355026245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.11534784345985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01416471} λ = 2.01416471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11534784345985))-π/2
    2×atan(3.05062913604192)-π/2
    2×1.25403289590216-π/2
    2.50806579180432-1.57079632675     		φ = 0.93726947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01416471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.403137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93726947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.701585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107553 KachelY 42269 2.01416471 0.93726947 115.403137 53.701585
    Oben rechts KachelX + 1 107554 KachelY 42269 2.01421265 0.93726947 115.405884 53.701585
    Unten links KachelX 107553 KachelY + 1 42270 2.01416471 0.93724109 115.403137 53.699959
    Unten rechts KachelX + 1 107554 KachelY + 1 42270 2.01421265 0.93724109 115.405884 53.699959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93726947-0.93724109) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dl = 180.808980000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93726947-0.93724109) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dr = 180.808980000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01416471-2.01421265) × cos(0.93726947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591990885243251 × 6371000     		do = 180.809254198556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01416471-2.01421265) × cos(0.93724109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59201375771424 × 6371000     		du = 180.816240039934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93726947)-sin(0.93724109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591990885243251-0.59201375771424)×R²
    abs(2.01421265-2.01416471)×2.28724709895323e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28724709895323e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28724709895323e-05×40589641000000     		ar = 32692.5683799301m²