Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107552 / 42531
↖ ↑ ↗
← N 53.273426°
E115.400390°		 ← 182.64 m → N 53.273426°
E115.403137°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 53.271783°
E115.400390°		 ← 182.65 m →
33 362 m²		 N 53.271783°
E115.403137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820560455322266 y=0.324489593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820560455322266 × 217)
    floor (0.820560455322266 × 131072)
    floor (107552.5)     		tx = 107552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324489593505859 × 217)
    floor (0.324489593505859 × 131072)
    floor (42531.5)     		ty = 42531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107552 / 42531 ti = "17/107552/42531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107552/42531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107552 ÷ 217
    107552 ÷ 131072     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42531 ÷ 217
    42531 ÷ 131072     		y = 0.324485778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324485778808594 × 2 - 1) × π
    0.351028442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.10278837575939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10278837575939))-π/2
    2×atan(3.01255445728185)-π/2
    2×1.25029650678437-π/2
    2.50059301356873-1.57079632675     		φ = 0.92979669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92979669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.273426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107552 KachelY 42531 2.01411677 0.92979669 115.400390 53.273426
    Oben rechts KachelX + 1 107553 KachelY 42531 2.01416471 0.92979669 115.403137 53.273426
    Unten links KachelX 107552 KachelY + 1 42532 2.01411677 0.92976802 115.400390 53.271783
    Unten rechts KachelX + 1 107553 KachelY + 1 42532 2.01416471 0.92976802 115.403137 53.271783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92979669-0.92976802) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dl = 182.6565699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92979669-0.92976802) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dr = 182.6565699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01416471) × cos(0.92979669) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.597996947280636 × 6371000     		do = 182.643660142501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01416471) × cos(0.92976802) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.598019925993382 × 6371000     		du = 182.650678432846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92979669)-sin(0.92976802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597996947280636-0.598019925993382)×R²
    abs(2.01416471-2.01411677)×2.29787127463688e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.29787127463688e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.29787127463688e-05×40589641000000     		ar = 33361.7054645471m²