Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107551 / 42265
↖ ↑ ↗
← N 53.708088°
E115.397644°		 ← 180.74 m → N 53.708088°
E115.400390°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.706462°
E115.397644°		 ← 180.75 m →
32 681 m²		 N 53.706462°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820552825927734 y=0.322460174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820552825927734 × 217)
    floor (0.820552825927734 × 131072)
    floor (107551.5)     		tx = 107551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322460174560547 × 217)
    floor (0.322460174560547 × 131072)
    floor (42265.5)     		ty = 42265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107551 / 42265 ti = "17/107551/42265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107551/42265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107551 ÷ 217
    107551 ÷ 131072     		x = 0.820549011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42265 ÷ 217
    42265 ÷ 131072     		y = 0.322456359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820549011230469 × 2 - 1) × π
    0.641098022460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01406884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322456359863281 × 2 - 1) × π
    0.355087280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11553959105833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01406884} λ = 2.01406884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11553959105833))-π/2
    2×atan(3.05121414293765)-π/2
    2×1.25408964793242-π/2
    2.50817929586484-1.57079632675     		φ = 0.93738297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01406884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.397644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93738297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.708088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107551 KachelY 42265 2.01406884 0.93738297 115.397644 53.708088
    Oben rechts KachelX + 1 107552 KachelY 42265 2.01411677 0.93738297 115.400390 53.708088
    Unten links KachelX 107551 KachelY + 1 42266 2.01406884 0.93735459 115.397644 53.706462
    Unten rechts KachelX + 1 107552 KachelY + 1 42266 2.01411677 0.93735459 115.400390 53.706462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93738297-0.93735459) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dl = 180.808980000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93738297-0.93735459) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dr = 180.808980000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01406884-2.01411677) × cos(0.93738297) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.591899406711675 × 6371000     		do = 180.743604387709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01406884-2.01411677) × cos(0.93735459) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.591922281089433 × 6371000     		du = 180.750589354136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93738297)-sin(0.93735459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591899406711675-0.591922281089433)×R²
    abs(2.01411677-2.01406884)×2.28743777587193e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.28743777587193e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.28743777587193e-05×40589641000000     		ar = 32680.6982253314m²