Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107551 / 100517
↖ ↑ ↗
← S 68.820889°
E115.397644°		 ← 110.32 m → S 68.820889°
E115.400390°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.821882°
E115.397644°		 ← 110.32 m →
12 173 m²		 S 68.821882°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820552825927734 y=0.766887664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820552825927734 × 217)
    floor (0.820552825927734 × 131072)
    floor (107551.5)     		tx = 107551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766887664794922 × 217)
    floor (0.766887664794922 × 131072)
    floor (100517.5)     		ty = 100517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107551 / 100517 ti = "17/107551/100517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107551/100517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107551 ÷ 217
    107551 ÷ 131072     		x = 0.820549011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100517 ÷ 217
    100517 ÷ 131072     		y = 0.766883850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820549011230469 × 2 - 1) × π
    0.641098022460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01406884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766883850097656 × 2 - 1) × π
    -0.533767700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.67688068560918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01406884} λ = 2.01406884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67688068560918))-π/2
    2×atan(0.186956242729249)-π/2
    2×0.184822608259434-π/2
    0.369645216518867-1.57079632675     		φ = -1.20115111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01406884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.397644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20115111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.820889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107551 KachelY 100517 2.01406884 -1.20115111 115.397644 -68.820889
    Oben rechts KachelX + 1 107552 KachelY 100517 2.01411677 -1.20115111 115.400390 -68.820889
    Unten links KachelX 107551 KachelY + 1 100518 2.01406884 -1.20116843 115.397644 -68.821882
    Unten rechts KachelX + 1 107552 KachelY + 1 100518 2.01411677 -1.20116843 115.400390 -68.821882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20115111--1.20116843) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20115111--1.20116843) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01406884-2.01411677) × cos(-1.20115111) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.361284635129551 × 6371000     		do = 110.322609590014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01406884-2.01411677) × cos(-1.20116843) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.361268484944682 × 6371000     		du = 110.317677936778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20115111)-sin(-1.20116843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361284635129551-0.361268484944682)×R²
    abs(2.01411677-2.01406884)×1.61501848690571e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.61501848690571e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.61501848690571e-05×40589641000000     		ar = 12173.3556942025m²