Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107550 / 42418
↖ ↑ ↗
← N 53.458620°
E115.394897°		 ← 181.85 m → N 53.458620°
E115.397644°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.456985°
E115.394897°		 ← 181.86 m →
33 066 m²		 N 53.456985°
E115.397644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820545196533203 y=0.323627471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820545196533203 × 217)
    floor (0.820545196533203 × 131072)
    floor (107550.5)     		tx = 107550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323627471923828 × 217)
    floor (0.323627471923828 × 131072)
    floor (42418.5)     		ty = 42418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107550 / 42418 ti = "17/107550/42418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107550/42418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107550 ÷ 217
    107550 ÷ 131072     		x = 0.820541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42418 ÷ 217
    42418 ÷ 131072     		y = 0.323623657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820541381835938 × 2 - 1) × π
    0.641082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01402090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323623657226562 × 2 - 1) × π
    0.352752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10820524541646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01402090} λ = 2.01402090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10820524541646))-π/2
    2×atan(3.02891734992947)-π/2
    2×1.25191262890113-π/2
    2.50382525780226-1.57079632675     		φ = 0.93302893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01402090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93302893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.458620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107550 KachelY 42418 2.01402090 0.93302893 115.394897 53.458620
    Oben rechts KachelX + 1 107551 KachelY 42418 2.01406884 0.93302893 115.397644 53.458620
    Unten links KachelX 107550 KachelY + 1 42419 2.01402090 0.93300039 115.394897 53.456985
    Unten rechts KachelX + 1 107551 KachelY + 1 42419 2.01406884 0.93300039 115.397644 53.456985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93302893-0.93300039) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93302893-0.93300039) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01402090-2.01406884) × cos(0.93302893) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.595403192925402 × 6371000     		do = 181.851460799169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01402090-2.01406884) × cos(0.93300039) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.595426122491152 × 6371000     		du = 181.858464078756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93302893)-sin(0.93300039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595403192925402-0.595426122491152)×R²
    abs(2.01406884-2.01402090)×2.29295657506734e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.29295657506734e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.29295657506734e-05×40589641000000     		ar = 33066.3859432328m²