Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107550 / 100518
↖ ↑ ↗
← S 68.821882°
E115.394897°		 ← 110.34 m → S 68.821882°
E115.397644°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.822874°
E115.394897°		 ← 110.34 m →
12 175 m²		 S 68.822874°
E115.397644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820545196533203 y=0.766895294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820545196533203 × 217)
    floor (0.820545196533203 × 131072)
    floor (107550.5)     		tx = 107550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766895294189453 × 217)
    floor (0.766895294189453 × 131072)
    floor (100518.5)     		ty = 100518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107550 / 100518 ti = "17/107550/100518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107550/100518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107550 ÷ 217
    107550 ÷ 131072     		x = 0.820541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100518 ÷ 217
    100518 ÷ 131072     		y = 0.766891479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820541381835938 × 2 - 1) × π
    0.641082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01402090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766891479492188 × 2 - 1) × π
    -0.533782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6769286225088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01402090} λ = 2.01402090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6769286225088))-π/2
    2×atan(0.186947280841412)-π/2
    2×0.184813949020327-π/2
    0.369627898040655-1.57079632675     		φ = -1.20116843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01402090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20116843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.821882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107550 KachelY 100518 2.01402090 -1.20116843 115.394897 -68.821882
    Oben rechts KachelX + 1 107551 KachelY 100518 2.01406884 -1.20116843 115.397644 -68.821882
    Unten links KachelX 107550 KachelY + 1 100519 2.01402090 -1.20118575 115.394897 -68.822874
    Unten rechts KachelX + 1 107551 KachelY + 1 100519 2.01406884 -1.20118575 115.397644 -68.822874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20116843--1.20118575) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20116843--1.20118575) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01402090-2.01406884) × cos(-1.20116843) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.361268484944682 × 6371000     		do = 110.340694353858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01402090-2.01406884) × cos(-1.20118575) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.361252334651439 × 6371000     		du = 110.335761638593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20116843)-sin(-1.20118575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361268484944682-0.361252334651439)×R²
    abs(2.01406884-2.01402090)×1.61502932433111e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61502932433111e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61502932433111e-05×40589641000000     		ar = 12175.3512121226m²