Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107549 / 54368
↖ ↑ ↗
← N 29.305561°
E115.392151°		 ← 266.34 m → N 29.305561°
E115.394897°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.303166°
E115.392151°		 ← 266.34 m →
70 929 m²		 N 29.303166°
E115.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820537567138672 y=0.414798736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820537567138672 × 217)
    floor (0.820537567138672 × 131072)
    floor (107549.5)     		tx = 107549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414798736572266 × 217)
    floor (0.414798736572266 × 131072)
    floor (54368.5)     		ty = 54368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107549 / 54368 ti = "17/107549/54368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107549/54368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107549 ÷ 217
    107549 ÷ 131072     		x = 0.820533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54368 ÷ 217
    54368 ÷ 131072     		y = 0.414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820533752441406 × 2 - 1) × π
    0.641067504882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01397296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414794921875 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01397296} λ = 2.01397296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535359294956787))-π/2
    2×atan(1.70806183001952)-π/2
    2×1.04113743052856-π/2
    2.08227486105713-1.57079632675     		φ = 0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01397296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.392151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107549 KachelY 54368 2.01397296 0.51147853 115.392151 29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 107550 KachelY 54368 2.01402090 0.51147853 115.394897 29.305561
    Unten links KachelX 107549 KachelY + 1 54369 2.01397296 0.51143673 115.392151 29.303166
    Unten rechts KachelX + 1 107550 KachelY + 1 54369 2.01402090 0.51143673 115.394897 29.303166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51147853-0.51143673) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51147853-0.51143673) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01397296-2.01402090) × cos(0.51147853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 266.337894175861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01397296-2.01402090) × cos(0.51143673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872042228234697 × 6371000     		du = 266.344142869656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51147853)-sin(0.51143673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.872042228234697)×R²
    abs(2.01402090-2.01397296)×2.0458962613934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0458962613934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0458962613934e-05×40589641000000     		ar = 70928.6907028209m²