Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107549 / 50204
↖ ↑ ↗
← N 38.762651°
E115.392151°		 ← 238.15 m → N 38.762651°
E115.394897°		 →
↑
238.15 m
↓
↑
238.15 m
↓
N 38.760509°
E115.392151°		 ← 238.16 m →
56 717 m²		 N 38.760509°
E115.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820537567138672 y=0.383029937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820537567138672 × 217)
    floor (0.820537567138672 × 131072)
    floor (107549.5)     		tx = 107549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383029937744141 × 217)
    floor (0.383029937744141 × 131072)
    floor (50204.5)     		ty = 50204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107549 / 50204 ti = "17/107549/50204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107549/50204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107549 ÷ 217
    107549 ÷ 131072     		x = 0.820533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50204 ÷ 217
    50204 ÷ 131072     		y = 0.383026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820533752441406 × 2 - 1) × π
    0.641067504882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01397296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383026123046875 × 2 - 1) × π
    0.23394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.734968544974701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01397296} λ = 2.01397296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734968544974701))-π/2
    2×atan(2.08541639464789)-π/2
    2×1.12366610099087-π/2
    2.24733220198174-1.57079632675     		φ = 0.67653588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01397296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.392151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67653588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.762651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107549 KachelY 50204 2.01397296 0.67653588 115.392151 38.762651
    Oben rechts KachelX + 1 107550 KachelY 50204 2.01402090 0.67653588 115.394897 38.762651
    Unten links KachelX 107549 KachelY + 1 50205 2.01397296 0.67649850 115.392151 38.760509
    Unten rechts KachelX + 1 107550 KachelY + 1 50205 2.01402090 0.67649850 115.394897 38.760509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67653588-0.67649850) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dl = 238.147979999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67653588-0.67649850) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dr = 238.147979999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01397296-2.01402090) × cos(0.67653588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77974626340365 × 6371000     		do = 238.154579512138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01397296-2.01402090) × cos(0.67649850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.779769666314338 × 6371000     		du = 238.161727363454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67653588)-sin(0.67649850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77974626340365-0.779769666314338)×R²
    abs(2.01402090-2.01397296)×2.34029106881417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34029106881417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34029106881417e-05×40589641000000     		ar = 56716.8831681864m²