Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107549 / 100448
↖ ↑ ↗
← S 68.752315°
E115.392151°		 ← 110.69 m → S 68.752315°
E115.394897°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.753311°
E115.392151°		 ← 110.68 m →
12 256 m²		 S 68.753311°
E115.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820537567138672 y=0.766361236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820537567138672 × 217)
    floor (0.820537567138672 × 131072)
    floor (107549.5)     		tx = 107549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766361236572266 × 217)
    floor (0.766361236572266 × 131072)
    floor (100448.5)     		ty = 100448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107549 / 100448 ti = "17/107549/100448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107549/100448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107549 ÷ 217
    107549 ÷ 131072     		x = 0.820533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100448 ÷ 217
    100448 ÷ 131072     		y = 0.766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820533752441406 × 2 - 1) × π
    0.641067504882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.01397296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.53271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6735730395354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01397296} λ = 2.01397296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6735730395354))-π/2
    2×atan(0.187575651639485)-π/2
    2×0.185421031332657-π/2
    0.370842062665314-1.57079632675     		φ = -1.19995426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01397296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.392151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19995426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.752315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107549 KachelY 100448 2.01397296 -1.19995426 115.392151 -68.752315
    Oben rechts KachelX + 1 107550 KachelY 100448 2.01402090 -1.19995426 115.394897 -68.752315
    Unten links KachelX 107549 KachelY + 1 100449 2.01397296 -1.19997164 115.392151 -68.753311
    Unten rechts KachelX + 1 107550 KachelY + 1 100449 2.01402090 -1.19997164 115.394897 -68.753311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19995426--1.19997164) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19995426--1.19997164) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01397296-2.01402090) × cos(-1.19995426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362400385565398 × 6371000     		do = 110.686405937524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01397296-2.01402090) × cos(-1.19997164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362384186959428 × 6371000     		du = 110.681458466309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19995426)-sin(-1.19997164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362400385565398-0.362384186959428)×R²
    abs(2.01402090-2.01397296)×1.61986059701857e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61986059701857e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61986059701857e-05×40589641000000     		ar = 12255.8082315257m²