Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107548 / 42281
↖ ↑ ↗
← N 53.682069°
E115.389404°		 ← 180.86 m → N 53.682069°
E115.392151°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.680442°
E115.389404°		 ← 180.86 m →
32 712 m²		 N 53.680442°
E115.392151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820529937744141 y=0.322582244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820529937744141 × 217)
    floor (0.820529937744141 × 131072)
    floor (107548.5)     		tx = 107548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322582244873047 × 217)
    floor (0.322582244873047 × 131072)
    floor (42281.5)     		ty = 42281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107548 / 42281 ti = "17/107548/42281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107548/42281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107548 ÷ 217
    107548 ÷ 131072     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42281 ÷ 217
    42281 ÷ 131072     		y = 0.322578430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322578430175781 × 2 - 1) × π
    0.354843139648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11477260066441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11477260066441))-π/2
    2×atan(3.0488747882462)-π/2
    2×1.25386258718275-π/2
    2.5077251743655-1.57079632675     		φ = 0.93692885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93692885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.682069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107548 KachelY 42281 2.01392503 0.93692885 115.389404 53.682069
    Oben rechts KachelX + 1 107549 KachelY 42281 2.01397296 0.93692885 115.392151 53.682069
    Unten links KachelX 107548 KachelY + 1 42282 2.01392503 0.93690046 115.389404 53.680442
    Unten rechts KachelX + 1 107549 KachelY + 1 42282 2.01397296 0.93690046 115.392151 53.680442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93692885-0.93690046) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93692885-0.93690046) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01397296) × cos(0.93692885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592265371765378 × 6371000     		do = 180.855356221091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01397296) × cos(0.93690046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592288246569537 × 6371000     		du = 180.862341317725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93692885)-sin(0.93690046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592265371765378-0.592288246569537)×R²
    abs(2.01397296-2.01392503)×2.28748041589677e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28748041589677e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28748041589677e-05×40589641000000     		ar = 32712.4264895911m²