Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107548 / 100507
↖ ↑ ↗
← S 68.810964°
E115.389404°		 ← 110.37 m → S 68.810964°
E115.392151°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.811957°
E115.389404°		 ← 110.37 m →
12 186 m²		 S 68.811957°
E115.392151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820529937744141 y=0.766811370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820529937744141 × 217)
    floor (0.820529937744141 × 131072)
    floor (107548.5)     		tx = 107548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766811370849609 × 217)
    floor (0.766811370849609 × 131072)
    floor (100507.5)     		ty = 100507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107548 / 100507 ti = "17/107548/100507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107548/100507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107548 ÷ 217
    107548 ÷ 131072     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100507 ÷ 217
    100507 ÷ 131072     		y = 0.766807556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766807556152344 × 2 - 1) × π
    -0.533615112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67640131661298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67640131661298))-π/2
    2×atan(0.187045885239863)-π/2
    2×0.184909221941677-π/2
    0.369818443883354-1.57079632675     		φ = -1.20097788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20097788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.810964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107548 KachelY 100507 2.01392503 -1.20097788 115.389404 -68.810964
    Oben rechts KachelX + 1 107549 KachelY 100507 2.01397296 -1.20097788 115.392151 -68.810964
    Unten links KachelX 107548 KachelY + 1 100508 2.01392503 -1.20099521 115.389404 -68.811957
    Unten rechts KachelX + 1 107549 KachelY + 1 100508 2.01397296 -1.20099521 115.392151 -68.811957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20097788--1.20099521) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dl = 110.409430000947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20097788--1.20099521) × R
    1.73300000001486e-05 × 6371000     		dr = 110.409430000947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01397296) × cos(-1.20097788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361446158988386 × 6371000     		do = 110.371932844464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01397296) × cos(-1.20099521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361430000563721 × 6371000     		du = 110.366998675106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20097788)-sin(-1.20099521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361446158988386-0.361430000563721)×R²
    abs(2.01397296-2.01392503)×1.61584246655688e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61584246655688e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61584246655688e-05×40589641000000     		ar = 12185.8298042841m²