Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107545 / 50211
↖ ↑ ↗
← N 38.747657°
E115.381165°		 ← 238.15 m → N 38.747657°
E115.383911°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
N 38.745515°
E115.381165°		 ← 238.16 m →
56 732 m²		 N 38.745515°
E115.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820507049560547 y=0.383083343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820507049560547 × 217)
    floor (0.820507049560547 × 131072)
    floor (107545.5)     		tx = 107545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383083343505859 × 217)
    floor (0.383083343505859 × 131072)
    floor (50211.5)     		ty = 50211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107545 / 50211 ti = "17/107545/50211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107545/50211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107545 ÷ 217
    107545 ÷ 131072     		x = 0.820503234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50211 ÷ 217
    50211 ÷ 131072     		y = 0.383079528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820503234863281 × 2 - 1) × π
    0.641006469726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01378122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383079528808594 × 2 - 1) × π
    0.233840942382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.734632986677361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01378122} λ = 2.01378122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734632986677361))-π/2
    2×atan(2.08471673326841)-π/2
    2×1.12353526208401-π/2
    2.24707052416802-1.57079632675     		φ = 0.67627420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01378122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.381165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67627420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.747657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107545 KachelY 50211 2.01378122 0.67627420 115.381165 38.747657
    Oben rechts KachelX + 1 107546 KachelY 50211 2.01382915 0.67627420 115.383911 38.747657
    Unten links KachelX 107545 KachelY + 1 50212 2.01378122 0.67623681 115.381165 38.745515
    Unten rechts KachelX + 1 107546 KachelY + 1 50212 2.01382915 0.67623681 115.383911 38.745515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67627420-0.67623681) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dl = 238.211690000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67627420-0.67623681) × R
    3.7390000000026e-05 × 6371000     		dr = 238.211690000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01378122-2.01382915) × cos(0.67627420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779910073414722 × 6371000     		do = 238.154923235514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01378122-2.01382915) × cos(0.67623681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779933474955955 × 6371000     		du = 238.16206917765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67627420)-sin(0.67623681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779910073414722-0.779933474955955)×R²
    abs(2.01382915-2.01378122)×2.34015412321487e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34015412321487e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34015412321487e-05×40589641000000     		ar = 56732.13787584m²