Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107545 / 100505
↖ ↑ ↗
← S 68.808979°
E115.381165°		 ← 110.38 m → S 68.808979°
E115.383911°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.809971°
E115.381165°		 ← 110.38 m →
12 187 m²		 S 68.809971°
E115.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820507049560547 y=0.766796112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820507049560547 × 217)
    floor (0.820507049560547 × 131072)
    floor (107545.5)     		tx = 107545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766796112060547 × 217)
    floor (0.766796112060547 × 131072)
    floor (100505.5)     		ty = 100505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107545 / 100505 ti = "17/107545/100505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107545/100505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107545 ÷ 217
    107545 ÷ 131072     		x = 0.820503234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100505 ÷ 217
    100505 ÷ 131072     		y = 0.766792297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820503234863281 × 2 - 1) × π
    0.641006469726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.01378122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766792297363281 × 2 - 1) × π
    -0.533584594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67630544281374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01378122} λ = 2.01378122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67630544281374))-π/2
    2×atan(0.187063818899183)-π/2
    2×0.184926549324238-π/2
    0.369853098648477-1.57079632675     		φ = -1.20094323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01378122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.381165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20094323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.808979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107545 KachelY 100505 2.01378122 -1.20094323 115.381165 -68.808979
    Oben rechts KachelX + 1 107546 KachelY 100505 2.01382915 -1.20094323 115.383911 -68.808979
    Unten links KachelX 107545 KachelY + 1 100506 2.01378122 -1.20096056 115.381165 -68.809971
    Unten rechts KachelX + 1 107546 KachelY + 1 100506 2.01382915 -1.20096056 115.383911 -68.809971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20094323--1.20096056) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20094323--1.20096056) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01378122-2.01382915) × cos(-1.20094323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361478466188249 × 6371000     		do = 110.381798236598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01378122-2.01382915) × cos(-1.20096056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361462307980632 × 6371000     		du = 110.376864133518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20094323)-sin(-1.20096056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361478466188249-0.361462307980632)×R²
    abs(2.01382915-2.01378122)×1.61582076176892e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61582076176892e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61582076176892e-05×40589641000000     		ar = 12186.9190401251m²