Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107542 / 42424
↖ ↑ ↗
← N 53.448807°
E115.372925°		 ← 181.86 m → N 53.448807°
E115.375671°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 53.447171°
E115.372925°		 ← 181.86 m →
33 079 m²		 N 53.447171°
E115.375671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820484161376953 y=0.323673248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820484161376953 × 217)
    floor (0.820484161376953 × 131072)
    floor (107542.5)     		tx = 107542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323673248291016 × 217)
    floor (0.323673248291016 × 131072)
    floor (42424.5)     		ty = 42424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107542 / 42424 ti = "17/107542/42424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107542/42424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107542 ÷ 217
    107542 ÷ 131072     		x = 0.820480346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42424 ÷ 217
    42424 ÷ 131072     		y = 0.32366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820480346679688 × 2 - 1) × π
    0.640960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01363741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32366943359375 × 2 - 1) × π
    0.3526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10791762401874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01363741} λ = 2.01363741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10791762401874))-π/2
    2×atan(3.0280462937609)-π/2
    2×1.25182699365835-π/2
    2.5036539873167-1.57079632675     		φ = 0.93285766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01363741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.372925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93285766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.448807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107542 KachelY 42424 2.01363741 0.93285766 115.372925 53.448807
    Oben rechts KachelX + 1 107543 KachelY 42424 2.01368534 0.93285766 115.375671 53.448807
    Unten links KachelX 107542 KachelY + 1 42425 2.01363741 0.93282911 115.372925 53.447171
    Unten rechts KachelX + 1 107543 KachelY + 1 42425 2.01368534 0.93282911 115.375671 53.447171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93285766-0.93282911) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dl = 181.892050000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93285766-0.93282911) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dr = 181.892050000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01363741-2.01368534) × cos(0.93285766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595540787144384 × 6371000     		do = 181.855543710318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01363741-2.01368534) × cos(0.93282911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595563721832465 × 6371000     		du = 181.862547093228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93285766)-sin(0.93282911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595540787144384-0.595563721832465)×R²
    abs(2.01368534-2.01363741)×2.29346880810111e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29346880810111e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29346880810111e-05×40589641000000     		ar = 33078.7145814218m²