Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107541 / 42701
↖ ↑ ↗
← N 52.993297°
E115.370178°		 ← 183.84 m → N 52.993297°
E115.372925°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
N 52.991644°
E115.370178°		 ← 183.85 m →
33 802 m²		 N 52.991644°
E115.372925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820476531982422 y=0.325786590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820476531982422 × 217)
    floor (0.820476531982422 × 131072)
    floor (107541.5)     		tx = 107541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325786590576172 × 217)
    floor (0.325786590576172 × 131072)
    floor (42701.5)     		ty = 42701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107541 / 42701 ti = "17/107541/42701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107541/42701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107541 ÷ 217
    107541 ÷ 131072     		x = 0.820472717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42701 ÷ 217
    42701 ÷ 131072     		y = 0.325782775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820472717285156 × 2 - 1) × π
    0.640945434570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.01358947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325782775878906 × 2 - 1) × π
    0.348434448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.09463910282398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01358947} λ = 2.01358947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09463910282398))-π/2
    2×atan(2.98810409044661)-π/2
    2×1.24785192142512-π/2
    2.49570384285025-1.57079632675     		φ = 0.92490752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01358947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.370178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92490752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.993297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107541 KachelY 42701 2.01358947 0.92490752 115.370178 52.993297
    Oben rechts KachelX + 1 107542 KachelY 42701 2.01363741 0.92490752 115.372925 52.993297
    Unten links KachelX 107541 KachelY + 1 42702 2.01358947 0.92487866 115.370178 52.991644
    Unten rechts KachelX + 1 107542 KachelY + 1 42702 2.01363741 0.92487866 115.372925 52.991644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92490752-0.92487866) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92490752-0.92487866) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01358947-2.01363741) × cos(0.92490752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601908446256578 × 6371000     		do = 183.838332610045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01358947-2.01363741) × cos(0.92487866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601931492594757 × 6371000     		du = 183.845371554938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92490752)-sin(0.92487866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601908446256578-0.601931492594757)×R²
    abs(2.01363741-2.01358947)×2.30463381793999e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30463381793999e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30463381793999e-05×40589641000000     		ar = 33802.4608498016m²