Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107540 / 41980
↖ ↑ ↗
← N 54.168866°
E115.367432°		 ← 178.80 m → N 54.168866°
E115.370178°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
N 54.167258°
E115.367432°		 ← 178.80 m →
31 964 m²		 N 54.167258°
E115.370178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820468902587891 y=0.320285797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820468902587891 × 217)
    floor (0.820468902587891 × 131072)
    floor (107540.5)     		tx = 107540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320285797119141 × 217)
    floor (0.320285797119141 × 131072)
    floor (41980.5)     		ty = 41980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107540 / 41980 ti = "17/107540/41980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107540/41980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107540 ÷ 217
    107540 ÷ 131072     		x = 0.820465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41980 ÷ 217
    41980 ÷ 131072     		y = 0.320281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820465087890625 × 2 - 1) × π
    0.64093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01354153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320281982421875 × 2 - 1) × π
    0.35943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12920160745004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01354153} λ = 2.01354153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12920160745004))-π/2
    2×atan(3.09318593740845)-π/2
    2×1.25811069392958-π/2
    2.51622138785917-1.57079632675     		φ = 0.94542506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01354153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.367432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94542506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.168866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107540 KachelY 41980 2.01354153 0.94542506 115.367432 54.168866
    Oben rechts KachelX + 1 107541 KachelY 41980 2.01358947 0.94542506 115.370178 54.168866
    Unten links KachelX 107540 KachelY + 1 41981 2.01354153 0.94539700 115.367432 54.167258
    Unten rechts KachelX + 1 107541 KachelY + 1 41981 2.01358947 0.94539700 115.370178 54.167258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94542506-0.94539700) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94542506-0.94539700) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01354153-2.01358947) × cos(0.94542506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585398316287083 × 6371000     		do = 178.795713946619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01354153-2.01358947) × cos(0.94539700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.585421065584789 × 6371000     		du = 178.802662167706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94542506)-sin(0.94539700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585398316287083-0.585421065584789)×R²
    abs(2.01358947-2.01354153)×2.27492977066257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27492977066257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27492977066257e-05×40589641000000     		ar = 31963.9773388046m²