Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10754 / 15870
↖ ↑ ↗
← N 67.613405°
W120.926514°		 ← 232.65 m → N 67.613405°
W120.921020°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
N 67.611313°
W120.926514°		 ← 232.67 m →
54 132 m²		 N 67.611313°
W120.921020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164100646972656 y=0.242164611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164100646972656 × 216)
    floor (0.164100646972656 × 65536)
    floor (10754.5)     		tx = 10754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242164611816406 × 216)
    floor (0.242164611816406 × 65536)
    floor (15870.5)     		ty = 15870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10754 / 15870 ti = "16/10754/15870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10754/15870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10754 ÷ 216
    10754 ÷ 65536     		x = 0.164093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15870 ÷ 216
    15870 ÷ 65536     		y = 0.242156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.67181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11056582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242156982421875 × 2 - 1) × π
    0.51568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62007545955942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11056582} λ = -2.11056582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62007545955942))-π/2
    2×atan(5.05347163491973)-π/2
    2×1.37543643268282-π/2
    2.75087286536564-1.57079632675     		φ = 1.18007654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11056582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.926514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18007654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.613405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10754 KachelY 15870 -2.11056582 1.18007654 -120.926514 67.613405
    Oben rechts KachelX + 1 10755 KachelY 15870 -2.11046994 1.18007654 -120.921020 67.613405
    Unten links KachelX 10754 KachelY + 1 15871 -2.11056582 1.18004002 -120.926514 67.611313
    Unten rechts KachelX + 1 10755 KachelY + 1 15871 -2.11046994 1.18004002 -120.921020 67.611313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18007654-1.18004002) × R
    3.65199999998733e-05 × 6371000     		dl = 232.668919999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18007654-1.18004002) × R
    3.65199999998733e-05 × 6371000     		dr = 232.668919999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11056582--2.11046994) × cos(1.18007654) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380854053906962 × 6371000     		do = 232.645262492915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11056582--2.11046994) × cos(1.18004002) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38088782132923 × 6371000     		du = 232.665889372783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18007654)-sin(1.18004002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380854053906962-0.38088782132923)×R²
    abs(-2.11046994--2.11056582)×3.37674222686823e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37674222686823e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37674222686823e-05×40589641000000     		ar = 54131.7215903116m²