Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107536 / 42443
↖ ↑ ↗
← N 53.417717°
E115.356445°		 ← 182.03 m → N 53.417717°
E115.359192°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
N 53.416080°
E115.356445°		 ← 182.03 m →
33 133 m²		 N 53.416080°
E115.359192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820438385009766 y=0.323818206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820438385009766 × 217)
    floor (0.820438385009766 × 131072)
    floor (107536.5)     		tx = 107536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323818206787109 × 217)
    floor (0.323818206787109 × 131072)
    floor (42443.5)     		ty = 42443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107536 / 42443 ti = "17/107536/42443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107536/42443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107536 ÷ 217
    107536 ÷ 131072     		x = 0.8204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42443 ÷ 217
    42443 ÷ 131072     		y = 0.323814392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8204345703125 × 2 - 1) × π
    0.640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01334978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323814392089844 × 2 - 1) × π
    0.352371215820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.10700682292596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01334978} λ = 2.01334978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10700682292596))-π/2
    2×atan(3.0252896014773)-π/2
    2×1.25155568482991-π/2
    2.50311136965982-1.57079632675     		φ = 0.93231504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01334978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93231504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.417717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107536 KachelY 42443 2.01334978 0.93231504 115.356445 53.417717
    Oben rechts KachelX + 1 107537 KachelY 42443 2.01339772 0.93231504 115.359192 53.417717
    Unten links KachelX 107536 KachelY + 1 42444 2.01334978 0.93228647 115.356445 53.416080
    Unten rechts KachelX + 1 107537 KachelY + 1 42444 2.01339772 0.93228647 115.359192 53.416080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93231504-0.93228647) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93231504-0.93228647) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01334978-2.01339772) × cos(0.93231504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595976599698948 × 6371000     		do = 182.026593985616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01334978-2.01339772) × cos(0.93228647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595999541217171 × 6371000     		du = 182.033600915796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93231504)-sin(0.93228647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595976599698948-0.595999541217171)×R²
    abs(2.01339772-2.01334978)×2.29415182235737e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29415182235737e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29415182235737e-05×40589641000000     		ar = 33133.0218641605m²