Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107535 / 42442
↖ ↑ ↗
← N 53.419354°
E115.353699°		 ← 181.98 m → N 53.419354°
E115.356445°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
N 53.417717°
E115.353699°		 ← 181.99 m →
33 125 m²		 N 53.417717°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820430755615234 y=0.323810577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820430755615234 × 217)
    floor (0.820430755615234 × 131072)
    floor (107535.5)     		tx = 107535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323810577392578 × 217)
    floor (0.323810577392578 × 131072)
    floor (42442.5)     		ty = 42442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107535 / 42442 ti = "17/107535/42442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107535/42442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107535 ÷ 217
    107535 ÷ 131072     		x = 0.820426940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42442 ÷ 217
    42442 ÷ 131072     		y = 0.323806762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820426940917969 × 2 - 1) × π
    0.640853881835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01330185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323806762695312 × 2 - 1) × π
    0.352386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10705475982558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01330185} λ = 2.01330185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10705475982558))-π/2
    2×atan(3.02543462795728)-π/2
    2×1.25156996919014-π/2
    2.50313993838028-1.57079632675     		φ = 0.93234361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01330185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.353699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93234361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.419354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107535 KachelY 42442 2.01330185 0.93234361 115.353699 53.419354
    Oben rechts KachelX + 1 107536 KachelY 42442 2.01334978 0.93234361 115.356445 53.419354
    Unten links KachelX 107535 KachelY + 1 42443 2.01330185 0.93231504 115.353699 53.417717
    Unten rechts KachelX + 1 107536 KachelY + 1 42443 2.01334978 0.93231504 115.356445 53.417717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93234361-0.93231504) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93234361-0.93231504) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01330185-2.01334978) × cos(0.93234361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595953657694261 × 6371000     		do = 181.981618699556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01330185-2.01334978) × cos(0.93231504) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595976599698948 × 6371000     		du = 181.988624316679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93234361)-sin(0.93231504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595953657694261-0.595976599698948)×R²
    abs(2.01334978-2.01330185)×2.29420046865547e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29420046865547e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29420046865547e-05×40589641000000     		ar = 33124.8353671103m²