Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107535 / 100495
↖ ↑ ↗
← S 68.799048°
E115.353699°		 ← 110.43 m → S 68.799048°
E115.356445°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.800041°
E115.353699°		 ← 110.43 m →
12 192 m²		 S 68.800041°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820430755615234 y=0.766719818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820430755615234 × 217)
    floor (0.820430755615234 × 131072)
    floor (107535.5)     		tx = 107535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766719818115234 × 217)
    floor (0.766719818115234 × 131072)
    floor (100495.5)     		ty = 100495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107535 / 100495 ti = "17/107535/100495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107535/100495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107535 ÷ 217
    107535 ÷ 131072     		x = 0.820426940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100495 ÷ 217
    100495 ÷ 131072     		y = 0.766716003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820426940917969 × 2 - 1) × π
    0.640853881835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.01330185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766716003417969 × 2 - 1) × π
    -0.533432006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.67582607381754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01330185} λ = 2.01330185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67582607381754))-π/2
    2×atan(0.18715351299084)-π/2
    2×0.185013209474081-π/2
    0.370026418948163-1.57079632675     		φ = -1.20076991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01330185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.353699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20076991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.799048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107535 KachelY 100495 2.01330185 -1.20076991 115.353699 -68.799048
    Oben rechts KachelX + 1 107536 KachelY 100495 2.01334978 -1.20076991 115.356445 -68.799048
    Unten links KachelX 107535 KachelY + 1 100496 2.01330185 -1.20078724 115.353699 -68.800041
    Unten rechts KachelX + 1 107536 KachelY + 1 100496 2.01334978 -1.20078724 115.356445 -68.800041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20076991--1.20078724) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20076991--1.20078724) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01330185-2.01334978) × cos(-1.20076991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361640060939048 × 6371000     		do = 110.431143137739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01330185-2.01334978) × cos(-1.20078724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361623903817399 × 6371000     		du = 110.426209366273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20076991)-sin(-1.20078724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361640060939048-0.361623903817399)×R²
    abs(2.01334978-2.01330185)×1.61571216496514e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61571216496514e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61571216496514e-05×40589641000000     		ar = 12192.3672010348m²