Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107532 / 42396
↖ ↑ ↗
← N 53.494582°
E115.345459°		 ← 181.66 m → N 53.494582°
E115.348205°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.492948°
E115.345459°		 ← 181.67 m →
32 997 m²		 N 53.492948°
E115.348205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820407867431641 y=0.323459625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820407867431641 × 217)
    floor (0.820407867431641 × 131072)
    floor (107532.5)     		tx = 107532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323459625244141 × 217)
    floor (0.323459625244141 × 131072)
    floor (42396.5)     		ty = 42396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107532 / 42396 ti = "17/107532/42396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107532/42396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107532 ÷ 217
    107532 ÷ 131072     		x = 0.820404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42396 ÷ 217
    42396 ÷ 131072     		y = 0.323455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820404052734375 × 2 - 1) × π
    0.64080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01315804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323455810546875 × 2 - 1) × π
    0.35308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1092598572081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01315804} λ = 2.01315804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1092598572081))-π/2
    2×atan(3.03211336686497)-π/2
    2×1.25222645552211-π/2
    2.50445291104421-1.57079632675     		φ = 0.93365658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01315804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93365658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.494582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107532 KachelY 42396 2.01315804 0.93365658 115.345459 53.494582
    Oben rechts KachelX + 1 107533 KachelY 42396 2.01320597 0.93365658 115.348205 53.494582
    Unten links KachelX 107532 KachelY + 1 42397 2.01315804 0.93362807 115.345459 53.492948
    Unten rechts KachelX + 1 107533 KachelY + 1 42397 2.01320597 0.93362807 115.348205 53.492948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93365658-0.93362807) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93365658-0.93362807) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01315804-2.01320597) × cos(0.93365658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59489880468752 × 6371000     		do = 181.659506644066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01315804-2.01320597) × cos(0.93362807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.594921720800985 × 6371000     		du = 181.666504354993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93365658)-sin(0.93362807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59489880468752-0.594921720800985)×R²
    abs(2.01320597-2.01315804)×2.29161134651656e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29161134651656e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29161134651656e-05×40589641000000     		ar = 32996.7614813643m²